“希尔伯特旅馆”问题——“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

自数学发展以来,无穷大就一直困扰着人类。我们必须认识到,无穷大不是一个具体的数,而是一个想法,它只存在于抽象中。

1924年,德国著名数学家希尔伯特(Hilbert,1862~1943)在一次演讲中提出了著名的“希尔伯特旅馆”问题:


一家旅馆,内设无限个房间,所有的房间也都客满了,但这时来了一位新客人。请问老板可以安排一个房间给新客人住吗?


“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

这不是脑经急转弯,而是一道实实在在的数学难题。问题中涉及到的“无限”,也就是“无穷”,因为不能被肉眼所感知,历代数学家为之可谓是伤透了脑筋。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

一、“无穷”真的存在吗?

地球上的沙粒有多少颗?或者说如何描述一个很大的数。这对我们当然是小菜一碟——“科学计数法”能轻易的表示任意大的数,如地球质量约为6*10^24(kg)等.但是对于古人却是很困难的,以至于最著名的古希腊数学家阿基米德专门写了一本《数沙者》来解决这个问题。阿基米德在此书中得到了一个数(1后面跟100个零),尽管已经很大,但是该数远没有到达“数的终点”。因此产生了另一个问题,就是数有终点吗?或者说“无穷大”是真实存在的吗?越说越玄了,又或者这更像一个哲学问题。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

事实上,“无穷”最开始就是因为哲学问题被引入的,后来柏拉图等古希腊先贤对其有一定的认识,最后到了公元前4世纪,古希腊物理学家亚里士多德(Aristotle公元前384~前322)将“无穷”分为了两类:实无穷和潜无穷。


实无穷:认为“无穷”是一个整体,是已经构造完了的东西,即无穷是实在的.

潜无穷:“无穷”是无限延伸的,永远处于构造中,并且永远无法完成,即,无穷是潜在的.


亚里士多德更倾向于那一类勒?当然是“潜无穷”,这影响了数学一个时代。但是随着讨论的深入,问题的困难系数似乎越来越大,以至于数学家们在接下来10多个世纪里,对待“无穷”随时处于摇摆不定的状态。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

这让我想起了两个至今还争论不休的问题:人的本性是“善”的呢,还是“恶”的呢?数学到底该是“发现”呢,还是“发明”?怎么说怎么有道理,几千年的争论并没有让问题得到根本的解决,而且越来越复杂。

二、“实无穷”和“潜无穷”谁是对的?

大家别误会,小编没打算也没实力来讨论无穷的哲学意义。让我们接着来看这两种观念——实无穷和潜无穷,给数学带来的重要影响。

微积分是17世纪最主要的一项数学发现,它决定了接下来几个世纪的数学发展方向。和我们知道的一样,微积分是从研究“无穷小”开始的。无论是积分中使用“无穷小分析法”来计算曲线围成的面积、曲面围成的体积,以及曲线的长度,还是微分中的求曲线的切线(或斜率),都会出现一个“无穷小量”.

牛顿在他1671年写成的《流数法与无穷级数》一书中用”o”表示“无穷小的时间间隔”,假定流量为:y=x^n,则y+y’o=(x+x’o)^n,右边按照二项式定理展开…

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

显然,牛顿将“无穷小o”当成了一种实体存在的对象来研究,17/18世纪的其他著名数学家如莱布尼茨、约翰·伯努利、欧拉等,也都无一例外的将“无穷”视为“实无穷”,也就是实实在在存在的。加上微积分在实践和工程上的巨大应用,让大部分数学家对“无穷小量”的存在问题深信不疑。但同时,反对的声音也有着强有力的反击论据。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

贝克莱(George Berkeley,1685-1753)是18世纪著名的数学家,他在听到牛顿关于微积分的工作后,出版了一本标题很长的书《分析学家;或一篇致一位不信神数学家的论文……》,其目的只有一个:攻击牛顿的微积分理论

显然,他达到了他的目的,因为他并非是无理取闹,而是真正发现了当时情况下的微积分理论的一个重大漏洞:

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

在用“流数法”求解函数微分的过程中,牛顿先是使用了“无穷小的时间间隔o”,运算过程中它明显不为零,但是最后“略去所有含有o的项”牛顿又将它看成了零。那么,o在微积分扮演了两个角色:既要等于0,又要不等于0 . 这不是自相矛盾的吗?


问题不止于此,要知道,微积分在诸多运用中都取得了巨大成功,这表明微积分(或叫牛顿的“流数法”)是没有问题的,但是18世纪的数学家们又无法解决Berkeley提出的这个“贝克莱悖论”。矛盾产生的根本在哪里呢?数学家们尝试了多种方法,但要直到19世纪才被认识和解决。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

19世纪,“现代分析之父” 魏尔斯特拉斯(Weierstraß,1815-1897)在阿贝尔、柯西等人工作的基础上,以ε-δ语言,系统建立了实分析和复分析的基础。该定义将无穷小作为极限为0的变量,归入到函数的范畴.“排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难”(Hilbert).

由于ε-δ语言建立在极限的基础上,此时对于无穷的理解是倾向于 “潜无穷”这边的。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

三、康托尔的集合论

19世纪,微积分的基础问题已被完全解决,数学家们进而转向去研究数系(甚至整个大厦的)基础问题。而康托尔(Cantor,1845-1918)是其中最显目的一个。1874年,他在《数学杂志》上发表的论文中,证明了有理数集合是可列的。这意味着什么呢?我们回到片头的“希尔伯特无穷旅馆”问题。

这个问题的答案是:可以安排下新来的客人。做法如下;

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

老板将1号房间的客人请到2号,2号请到3号,….,依次下去,将n号的客人请到n+1号,… 这样,1号房间就空出来了,给客人入住即可。

估计有人会问,最后一个房间的客人去哪里呢?这个问题是没有意义的,因为既然是无穷多个房间,就不会有最后一间。

是不是有些不可思议呢?这都不算,大家继续往下看。


(1).自然数和平方数谁更多?答案:一样多

(2).有理数和正整数谁更多?答案:一样多

(3).区间(0,1)上的点和(0,100)上的点谁更多?答案:一样多

(4).数轴上的点和坐标平面内的点谁更多?答案:一样多

(5).实数和有理数数谁更多?答案:实数


是不是整个人都有些不好了,欧式几何告诉我们,整体大于部分。但是到了无穷这里,一切规则都变了。为了更好理解康托尔眼中的无穷,让我们从基础开始。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

康托尔给集合下的定义


  1. 我们将由一个或多个确定的个体(元素)构成的整体叫做集合A,集合中元素的个数叫做势|A|。如,{0,1,2,3,4 }表示一个集合-记为A,它的元素个数为|A|=5.
  2. 如何定义“一样多”。康托尔的想法是两个集合间的元素能“一一对应”。如,集合B={a,b,c,d,e},|B|=5 ,有|A|=|B|. 它们”一样多”.

同时,我们注意到:0→a, 1→b,2→c,3→d,4→e. 两个集合A与B能够“一一对应”。


这就是集合论的核心,两个集合“一样多”,是指它们之间能建立起“一一对应”的关系。这样我们来构造正整数与平方数的对应。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

再来看看正整数与有理数的对应,

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

按照箭头的方向,我们得到一个与自然数”一一对应”的结合:{1,2,1/2,1/3,3,4,3/2,…..}.所以正整数与有理数是一样多的,或者“势”一样。但实数的全体与正整数的全体却是不能构成这样的“一一对应”的。康托尔使用了反证法。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

假设实数的全体(先取0到1之间的所有实数)可以与正整数“一一对应”,按照上图将其罗列出来。现在我们构造一个数:它的第一位小数不为a1(用!a1表示),第二位小数不为a2,……依次下去,我们发现,得到的数0.!a1!a2….不是列举中的任何一个数。换句话说,我们假设(0,1)之间的数列举完了,结果又出现了一个新的实数。矛盾。 这样康托尔得到(0,1)之间的实数比正整数要“多”,进而得到实数的个数比正整数要“多”.

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

在康托尔的理论里,所有自然数、实数等都能构成集合,也就是自然数集、实数集等是实际存在的,无穷也就自然的向“实无穷”倾斜了。这些理论让他的老师克罗内克接受不了,一轮轮的理论攻击(当然不只是人身攻击,而更多的是正当的、有理的)就开始了。最后的结果是,康托尔时而认可自己的成果,时而又怀疑,最终在多重压力下,他住进了精神病院。

“无穷”到底是数学家构造出来的,还是真的存在?

尽管精神上的压力是巨大的,但康托尔并未停止研究。在希尔伯特等20世纪的数学大家的支持和帮助下,康托尔证明了他的集合理论是对的。而且在1900年召开的数学家大会上,希尔伯特将康托尔的“连续统假设”问题立为23个问题之首。再经过一个多世纪的发展,集合论已经成为了整个数学的基础。暂时,实无穷处于上风,但争论仍在继续。

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