1924年，德国著名数学家希尔伯特（Hilbert，1862～1943）在一次演讲中提出了著名的“希尔伯特旅馆”问题：

一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了，但这时来了一位新客人。请问老板可以安排一个房间给新客人住吗？

这不是脑经急转弯，而是一道实实在在的数学难题。问题中涉及到的“无限”，也就是“无穷”，因为不能被肉眼所感知，历代数学家为之可谓是伤透了脑筋。

一、“无穷”真的存在吗？

地球上的沙粒有多少颗？或者说如何描述一个很大的数。这对我们当然是小菜一碟——“科学计数法”能轻易的表示任意大的数，如地球质量约为6*10^24（kg）等.但是对于古人却是很困难的，以至于最著名的古希腊数学家阿基米德专门写了一本《数沙者》来解决这个问题。阿基米德在此书中得到了一个数（1后面跟100个零），尽管已经很大，但是该数远没有到达“数的终点”。因此产生了另一个问题，就是数有终点吗？或者说“无穷大”是真实存在的吗？越说越玄了，又或者这更像一个哲学问题。

事实上，“无穷”最开始就是因为哲学问题被引入的，后来柏拉图等古希腊先贤对其有一定的认识，最后到了公元前4世纪，古希腊物理学家亚里士多德（Aristotle公元前384～前322）将“无穷”分为了两类：实无穷和潜无穷。

实无穷：认为“无穷”是一个整体，是已经构造完了的东西，即无穷是实在的.

潜无穷：“无穷”是无限延伸的，永远处于构造中，并且永远无法完成，即，无穷是潜在的.

亚里士多德更倾向于那一类勒？当然是“潜无穷”，这影响了数学一个时代。但是随着讨论的深入，问题的困难系数似乎越来越大，以至于数学家们在接下来10多个世纪里，对待“无穷”随时处于摇摆不定的状态。

这让我想起了两个至今还争论不休的问题：人的本性是“善”的呢，还是“恶”的呢？数学到底该是“发现”呢，还是“发明”？怎么说怎么有道理，几千年的争论并没有让问题得到根本的解决，而且越来越复杂。

二、“实无穷”和“潜无穷”谁是对的？

大家别误会，小编没打算也没实力来讨论无穷的哲学意义。让我们接着来看这两种观念——实无穷和潜无穷，给数学带来的重要影响。

微积分是17世纪最主要的一项数学发现，它决定了接下来几个世纪的数学发展方向。和我们知道的一样，微积分是从研究“无穷小”开始的。无论是积分中使用“无穷小分析法”来计算曲线围成的面积、曲面围成的体积，以及曲线的长度，还是微分中的求曲线的切线（或斜率），都会出现一个“无穷小量”.

牛顿在他1671年写成的《流数法与无穷级数》一书中用”o”表示“无穷小的时间间隔”，假定流量为：y=x^n,则y+y’o=(x+x’o)^n,右边按照二项式定理展开…

显然，牛顿将“无穷小o”当成了一种实体存在的对象来研究，17/18世纪的其他著名数学家如莱布尼茨、约翰·伯努利、欧拉等，也都无一例外的将“无穷”视为“实无穷”，也就是实实在在存在的。加上微积分在实践和工程上的巨大应用，让大部分数学家对“无穷小量”的存在问题深信不疑。但同时，反对的声音也有着强有力的反击论据。

贝克莱（George Berkeley，1685-1753）是18世纪著名的数学家，他在听到牛顿关于微积分的工作后，出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文……》，其目的只有一个：攻击牛顿的微积分理论。

显然，他达到了他的目的，因为他并非是无理取闹，而是真正发现了当时情况下的微积分理论的一个重大漏洞：

在用“流数法”求解函数微分的过程中，牛顿先是使用了“无穷小的时间间隔o”,运算过程中它明显不为零，但是最后“略去所有含有o的项”牛顿又将它看成了零。那么，o在微积分扮演了两个角色：既要等于0，又要不等于0 . 这不是自相矛盾的吗？

问题不止于此，要知道，微积分在诸多运用中都取得了巨大成功，这表明微积分（或叫牛顿的“流数法”）是没有问题的，但是18世纪的数学家们又无法解决Berkeley提出的这个“贝克莱悖论”。矛盾产生的根本在哪里呢?数学家们尝试了多种方法，但要直到19世纪才被认识和解决。

19世纪，“现代分析之父” 魏尔斯特拉斯（Weierstraß，1815-1897）在阿贝尔、柯西等人工作的基础上，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础。该定义将无穷小作为极限为0的变量，归入到函数的范畴.“排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难”（Hilbert）.

由于ε-δ语言建立在极限的基础上，此时对于无穷的理解是倾向于 “潜无穷”这边的。

三、康托尔的集合论

19世纪，微积分的基础问题已被完全解决，数学家们进而转向去研究数系（甚至整个大厦的）基础问题。而康托尔（Cantor，1845-1918）是其中最显目的一个。1874年，他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的。这意味着什么呢？我们回到片头的“希尔伯特无穷旅馆”问题。

这个问题的答案是：可以安排下新来的客人。做法如下；

老板将1号房间的客人请到2号，2号请到3号，….，依次下去，将n号的客人请到n+1号，… 这样，1号房间就空出来了，给客人入住即可。

估计有人会问，最后一个房间的客人去哪里呢？这个问题是没有意义的，因为既然是无穷多个房间，就不会有最后一间。

是不是有些不可思议呢？这都不算，大家继续往下看。

（1）.自然数和平方数谁更多？答案：一样多

（2）.有理数和正整数谁更多？答案：一样多

（3）.区间（0，1）上的点和（0，100）上的点谁更多？答案：一样多

（4）.数轴上的点和坐标平面内的点谁更多？答案：一样多

（5）.实数和有理数数谁更多？答案：实数

是不是整个人都有些不好了，欧式几何告诉我们，整体大于部分。但是到了无穷这里，一切规则都变了。为了更好理解康托尔眼中的无穷，让我们从基础开始。

康托尔给集合下的定义

我们将由一个或多个确定的个体（元素）构成的整体叫做集合A，集合中元素的个数叫做势|A|。如，{0,1,2,3,4 }表示一个集合-记为A，它的元素个数为｜A｜=5.
如何定义“一样多”。康托尔的想法是两个集合间的元素能“一一对应”。如，集合B=｛a,b,c,d,e｝,|B|=5 ，有|A|=|B|. 它们”一样多”.

同时，我们注意到:0→a, 1→b,2→c,3→d,4→e. 两个集合A与B能够“一一对应”。

这就是集合论的核心，两个集合“一样多”，是指它们之间能建立起“一一对应”的关系。这样我们来构造正整数与平方数的对应。

再来看看正整数与有理数的对应，

按照箭头的方向，我们得到一个与自然数”一一对应”的结合：{1,2,1/2,1/3,3,4,3/2，…..}.所以正整数与有理数是一样多的，或者“势”一样。但实数的全体与正整数的全体却是不能构成这样的“一一对应”的。康托尔使用了反证法。

假设实数的全体（先取0到1之间的所有实数）可以与正整数“一一对应”，按照上图将其罗列出来。现在我们构造一个数：它的第一位小数不为a1（用！a1表示），第二位小数不为a2,……依次下去，我们发现，得到的数0.！a1!a2….不是列举中的任何一个数。换句话说，我们假设（0,1）之间的数列举完了，结果又出现了一个新的实数。矛盾。这样康托尔得到(0,1)之间的实数比正整数要“多”，进而得到实数的个数比正整数要“多”.

在康托尔的理论里，所有自然数、实数等都能构成集合，也就是自然数集、实数集等是实际存在的，无穷也就自然的向“实无穷”倾斜了。这些理论让他的老师克罗内克接受不了，一轮轮的理论攻击（当然不只是人身攻击，而更多的是正当的、有理的）就开始了。最后的结果是，康托尔时而认可自己的成果，时而又怀疑，最终在多重压力下，他住进了精神病院。

尽管精神上的压力是巨大的，但康托尔并未停止研究。在希尔伯特等20世纪的数学大家的支持和帮助下，康托尔证明了他的集合理论是对的。而且在1900年召开的数学家大会上，希尔伯特将康托尔的“连续统假设”问题立为23个问题之首。再经过一个多世纪的发展，集合论已经成为了整个数学的基础。暂时，实无穷处于上风，但争论仍在继续。

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